Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:
Нестрогое неравенство - это неравенство вида f (x ) ≥ 0 или f (x ) ≤ 0, которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:
В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство f (x ) ≥ 0 - это объединение классического уравнения f (x ) = 0 и строгого неравенства f (x ) > 0. Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю .
Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:
Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок - закрашенными. Например:
На этом рисунке отмечен отрезок и интервал (9; 11). Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки - круглые.
Метод интервалов для нестрогих неравенств
К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками - и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравните два неравенства:
Задача. Решите строгое неравенство:
(x − 5)(x + 3) > 0
Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:
(x
− 5)(x
+ 3) = 0;
x
− 5 = 0 ⇒ x
= 5;
x
+ 3 = 0 ⇒ x
= −3;
Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:
f (x ) = (x − 5)(x + 3)
Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:
x ∈ (−∞; −3) ∪ (5; +∞)
Задача. Решите нестрогое неравенство:
(x − 5)(x + 3) ≥ 0
Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:
(x
− 5)(x
+ 3) = 0;
x
− 5 = 0 ⇒ x
= 5;
x
+ 3 = 0 ⇒ x
= −3;
Отмечаем полученные корни на координатной оси:
В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:
f (x ) = (x − 5)(x + 3)
Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:
x ∈ (−∞; −3] ∪ ∪ ∪ , а (−∞; −3] ∪
Задача. Решите неравенство:
x (12 − 2x )(3x + 9) ≥ 0
x
(12 − 2x
)(3x
+ 9) = 0;
x
= 0;
12 − 2x
= 0 ⇒ 2x
= 12 ⇒ x
= 6;
3x
+ 9 = 0 ⇒ 3x
= −9 ⇒ x
= −3.
x
≥ 6 ⇒ f
(x
) = x
(12 − 2x
)(3x
+ 9) → (+) · (−) · (+) = (−) < 0;
x
∈ (−∞ −3] ∪ .
Обратной стороной равенства выступает неравенство . В этой статье мы введем понятие неравенства, и дадим начальную информацию о них в контексте математики.
Сначала разберем, что такое неравенство, введем понятия не равно, больше, меньше. Дальше поговорим о записи неравенств с помощью знаков не равно, меньше, больше, меньше или равно, больше или равно. После этого затронем основные типы неравенств, дадим определения строгих и нестрогих, верных и неверных неравенств. Дальше мимоходом перечислим основные свойства неравенств. Наконец, остановимся на двойных, тройных и т.д. неравенствах, и разберем, какой смысл они несут в себе.
Навигация по странице.
Понятие неравенства , как и , связано со сравнением двух объектов. И если равенство характеризуется словом «одинаковые», то неравенство, напротив, говорит о различии сравниваемых объектов. Например, объекты и - одинаковые, про них можно сказать, что они равные. А вот два объекта и отличаются, то есть, они не равны или неравные .
Неравенство сравниваемых объектов познается вместе со смыслом таких слов, как выше, ниже (неравенство по высоте), толще, тоньше (неравенство по толщине), дальше, ближе (неравенство по удаленности от чего-либо), длиннее, короче (неравенство по длине), тяжелее, легче (неравенство по весу), ярче, тусклее (неравенство по яркости), теплее, холоднее и т.п.
Как мы уже отмечали при знакомстве с равенствами, можно говорить как о равенстве двух объектов в целом, так и о равенстве их некоторых характеристик. Это же относится и к неравенствам. В качестве примера приведем два объекта и . Очевидно, они не одинаковые, то есть, в целом они неравные. Они не равны по размеру, также они не равны по цвету, однако, можно говорить о равенстве их форм – они оба являются кругами.
В математике общий смысл неравенства сохраняется. Но в ее контексте речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений каких-либо величин (длин, весов, площадей, температур и т.п.), фигур, векторов и т.п.
Иногда ценность представляет именно сам факт неравенства двух объектов. А когда сравниваются значения каких-либо величин, то, выяснив их неравенство, обычно идут дальше, и выясняют, какая величина больше , а какая – меньше .
Смысл слов «больше» и «меньше» мы познаем практически с первых дней нашей жизни. На интуитивном уровне мы воспринимаем понятие больше и меньше в плане размера, количества и т.п. А дальше постепенно начинаем осознавать, что при этом фактически речь идет о сравнении чисел , отвечающим количеству некоторых предметов или значениям некоторых величин. То есть, в этих случаях мы выясняем, какое из чисел больше, а какое – меньше.
Приведем пример. Рассмотрим два отрезка AB
и CD
, и сравним их длины 
. Очевидно, они не равны, также очевидно, что отрезок AB
длиннее отрезка CD
. Таким образом, согласно смыслу слова «длиннее», длина отрезка AB
больше длины отрезка CD
, и в то же время длина отрезка CD
меньше длины отрезка AB
.
Еще пример. С утра была зафиксирована температура воздуха 11 градусов Цельсия, а в обед – 24 градуса. Согласно , 11 меньше 24 , следовательно, значение температуры с утра было меньше, чем ее значение в обед (температура в обед стала больше, чем была температура с утра).
На письме приняты несколько знаков для записи неравенств. Первый из них – знак не равно , он представляет собой перечеркнутый знак равно: ≠. Знак не равно ставится между неравными объектами. Например, запись |AB|≠|CD| обозначает, что длина отрезка AB не равна длине отрезка CD . Аналогично, 3≠5 – три не равно пяти.
Аналогично используются знак больше > и знак меньше ≤. Знак больше записывается между большим и меньшим объектами, а знак меньше – между меньшим и большим. Приведем примеры использования этих знаков. Запись 7>1 читается как семь больше одного, а записать, что площадь треугольника ABC меньше площади треугольника DEF с использованием знака ≤ можно как SABC≤SDEF .
Также широко в ходу знак больше или равно вида ≥, а также знак меньше или равно ≤. Подробнее об их смысле и назначении поговорим в следующем пункте.
Еще заметим, что алгебраические записи со знаками не равно, меньше, больше, меньше или равно, больше или равно, аналогичные рассмотренным выше, называют неравенствами. Более того, имеет место определение неравенств в смысле вида их записи:
Определение.
Неравенства – это имеющие смысл алгебраические выражения, составленные с использованием знаков ≠, <, >, ≤, ≥.
Определение.
Знаки меньше называют знаками строгих неравенств , а записанные с их помощью неравенства – строгими неравенствами .
В свою очередь
Определение.
Знаки меньше или равно ≤ и больше или равно ≥ называют знаками нестрогих неравенств , а составленные с их использованием неравенства – нестрогими неравенствами .
Сфера применения строгих неравенств понятна из вышеприведенной информации. А для чего нужны нестрогие неравенства? На практике с их помощью удобно моделировать ситуации, которые можно описать фразами «не больше» и «не меньше». Фраза «не больше» по сути означает меньше или столько же, ей отвечает знак меньше или равно вида ≤. Аналогично, «не меньше» значит столько же или больше, ей соответствует знак больше или равно ≥.
Отсюда становится понятно, почему знаки < и > получили название знаков строгих неравенств, а ≤ и ≥ - нестрогих. Первые исключают возможность равенства объектов, а вторые – допускают ее.
В заключение этого пункта покажем пару примеров использования нестрогих неравенств. Например, с помощью знака больше или равно можно записать тот факт, что a
является неотрицательным числом, как |a|≥0
. Еще пример: известно, что среднее геометрическое двух положительных чисел a
и b
меньше или равно их среднему арифметическому, то есть, 
.
Неравенства могут быть верными или неверными.
Определение.
Неравенство является верным , если оно соответствует введенному выше смыслу неравенства, в противном случае оно является неверным .
Приведем примеры верных и неверных неравенств. Например, 3≠3 – это неверное неравенство, так как числи 3 и 3 равные. Другой пример: пусть S – это площадь некоторой фигуры, тогда S<−7 – неверное неравенство, так как известно, что площадь фигуры по определению выражается неотрицательным числом. И еще пример неверного неравенства: |AB|>|AB| . А вот неравенства −3<12 , |AB|≤|AC|+|BC| и |−4|≥0 – верные. Первое из них отвечает , второе – выражает неравенство треугольника , а третье – согласуется с определением модуля числа.
Отметим, что наряду со словосочетанием «верное неравенство» используются такие словосочетания: «справедливое неравенство», «имеет место неравенство» и т.п., означающие одно и то же.
Согласно тому, как мы ввели понятие неравенства, можно описать основные свойства неравенств . Понятно, что объект не может быть не равен самому себе. В этом состоит первое свойство неравенств. Второе свойство не менее очевидно: если первый объект не равен второму, то второй не равен первому.
Введенные на некотором множестве понятия «меньше» и «больше» задают на исходном множестве так называемые отношения «меньше» и «больше». Это же относится и к отношениям «меньше или равно» и «больше или равно». Они также обладают характерными свойствами.
Начнем со свойств отношений, которым соответствуют знаки < и >. Перечислим их, после чего дадим необходимые комментарии для пояснения:
Свойство антирефлексивности с помощью букв можно записать так: для любого объекта a неравенства a>a и ab , то ba . Наконец, свойство транзитивности состоит в том, что из ab и b>c следует, что a>c . Это свойство также воспринимается достаточно естественно: если первый объект меньше (больше) второго, а второй меньше (больше) третьего, то понятно, что первый объект подавно меньше (больше) третьего.
В свою очередь отношениям «меньше или равно» и «больше или равно» присущи следующие свойства:
Свойство транзитивности, которое мы затронули в предыдущем пункте, позволяет составлять так называемые двойные, тройные и т.д. неравенства, представляющие собой цепочки неравенств. Для примера приведем двойное неравенство a Теперь разберем, как понимать такие записи. Их следует трактовать в согласии со смыслом содержащихся в них знаков. Например, двойное неравенство a В заключение заметим, что иногда удобно использовать записи в виде цепочек, содержащих одновременно как знаки равно, не равно, так и знаки строгих и нестрогих неравенств. Например, x=2 Список литературы.
С неравенствами мы познакомились в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними. Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры. При введении понятия неравенства имеем, что их определение производится по виду записи. Имеются алгебраические выражения, которые имеют знаки ≠ , < , > , ≤ , ≥ . Дадим определение. Определение 1
Числовым неравенством
называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения. Числовые неравенства рассматриваем еще в школе после изучения натуральных чисел. Такие операции сравнения изучаются поэтапно. Первоначальные имею вид 1 < 5 , 5 + 7 > 3 . После чего правила дополняются, а неравенства усложняются, тогда получаем неравенства вида 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2 < 0 . Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше». Определение 2
Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что Определение 3
Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств. Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков < и > характерно при свойствах: Определение 4
Пример 1
Например, при заданном неравенстве 5 < 11 имеем, что 11 > 5 , значит его числовое неравенство − 0 , 27 > − 1 , 3 перепишется в виде − 1 , 3 < − 0 , 27 . Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять и менять местами. Определение 5
Доказательство 1
Первое утверждение можно доказать. Условие a < b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать. Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности. Пример 2
Разобранное свойство рассматриваем на примере неравенств − 1 < 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 > 1 8 и 1 8 > 1 32 следует, что 1 2 > 1 32 . Числовые неравенства, которые записываются с помощью нестрогих знаков неравенства, обладают свойством рефлексивности, потому как a ≤ a и a ≥ a могут иметь случай равенства а = а. им присуща ассиметричность и транзитивность. Определение 6
Неравенства, имеющие в записи знаки ≤ и ≥ , имеют свойства: Доказательство производится аналогичным образом. Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств. Данный пункт раскрывает свойства неравенств для одного знака строгого неарвенства. Аналогично производится для нестрогих. Рассмотрим на примере, сформулировав неравенство если a < b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства: Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается и приводятся доказательства, показываются примеры использования. Определение 7
Прибавление или вычисления числа к обеим сторонам. Иначе говоря, когда a и b соответствуют неравенству a < b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c . Доказательство 2
Чтобы доказать это, необходимо, чтобы уравнение соответствовало условию a < b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с. Пример 3
К примеру, если обе части неравенства 7 > 3 увеличиваем на 15 , тогда получаем, что 7 + 15 > 3 + 15 . Это равно 22 > 18 . Определение 8
Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число c , получим верное неравенство. Если взять число c отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так: для a и b неравенство выполняется, когда a < b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c > b · c . Доказательство 3
Когда имеется случай c > 0 , необходимо составить разность левой и правой частей неравенства. Тогда получаем, что a · c − b · c = (a − b) · c . Из условия a < b , то a − b < 0 , а c > 0 , тогда произведение (a − b) · c будет отрицательным. Отсюда следует, что a · c − b · c < 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом. При доказательстве деление на целое число можно заменить умножением на обратное заданному, то есть 1 c . Рассмотрим пример свойства на определенных числах. Пример 4
Разрешено обе части неравенства 4 < 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 . Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств: При делении обеих частей неравенства a < b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 > 3 2 имеем, что 1 5 < 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a > 1 b может получиться неверным. Пример 5
Например, − 2 < 3 , однако, - 1 2 > 1 3 являются неверным равенством. Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении или умножении его частей. Определение 9
Когда числа a , b , c , d справедливы для неравенств a < b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства. Доказательство 4
Докажем, что (a + c) − (b + d) является отрицательным числом, тогда получим, что a + c < b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности. Свойство применяется для почленного сложения трех, четырех и более числовых неравенств. Числам a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n справедливы неравенства a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
Пример 6
Например, при данных трех числовых неравенствах одного знака − 5 < − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным. Определение 10
Почленное умножение обеих частей дает в результате положительное число. При a < b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым. Доказательство 5
Чтобы доказать это, необходимо обе части неравенства a < b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d . Это свойство считается справедливым для количества чисел, на которые необходимо умножить обе части неравенства. Тогда a 1 , a 2 , … , a n
и b 1 , b 2 , … , b n
являются положительные числами, где a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n < b 1 · b 2 · … · b n
. Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам. Пример 7
К примеру, неравенство 1 < 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством. Следствие:
Почленное умножение неравенств a < b с положительными с a и b , причем получается a n < b n
. Рассмотрим ниже свойства числовых неравенств. Следствие 1:
если a < b , то - a > - b . Следствие 2:
если a и b - положительные числа и a < b , то 1 a > 1 b . Cледствие 1:
если a < b , a
и b
- положительные числа, то a n < b n . Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию. Какую персональную информацию мы собираем: Как мы используем вашу персональную информацию: Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам. Исключения: Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности. На этом уроке мы начнём изучать неравенства и их свойства. Мы рассмотрим простейшие неравенства - линейные и методы решения систем и совокупностей неравенств. Мы часто сравниваем те или иные объекты по их числовым характеристикам: товары по их ценам, людей по их росту или возрасту, смартфоны по их диагонали или результаты команд по количеству забитых мячей в матче. Соотношения вида или называют неравенствами
. Ведь в них записано, что числа не равны, а больше или меньше друг друга. Чтобы сравнивать натуральные числа в десятичной записи, мы упорядочили цифры: Но этот способ не всегда удобен. Проще всего сравнивать положительные числа, т.к. они обозначают количества. Действительно, если число можно эквивалентно представить в виде суммы числа с каким-то другим числом , то больше : . Эквивалентная запись: . Это определение можно расширить не только на положительные числа, но и на любые два числа: Число
больше числа
(записывается как или ), если число является положительным.
Соответственно, если число отрицательно, то . Например, сравним две дроби: и . Сразу так и не скажешь, какая из них больше. Поэтому обратимся к определению и рассмотрим разность : Получили отрицательное число, значит, . На числовой оси большее число всегда будет располагаться правее, меньшее - левее (Рис. 1). Рис. 1. На числовой оси большее число располагается правее, меньшее - левее Зачем нужны такие формальные определения? Одно дело - наше понимание, а другое - техника. Если сформулировать строгий алгоритм сравнения чисел, то его можно поручить компьютеру. В этом есть плюс - такой подход избавляет нас от выполнения рутинных операций. Но есть и минус - компьютер точно следует заданному алгоритму. Если компьютеру поставлена задача: поезд должен отправиться со станции в , то, даже если вы окажетесь на платформе в , на этот поезд вы уже не успеете. Поэтому алгоритмы, которые мы задаём компьютеру для выполнения различных вычислений или решения задач, должны быть очень точными и максимально формализованными. Как и в случае равенств, с неравенствами можно совершать некоторые действия и получать эквивалентные неравенства. Рассмотрим некоторые из них. 1.
Если
, то
для любого числа
.
Т.е. можно прибавлять или вычитать одно и то же число к обеим частям неравенства. У нас уже есть хороший образ - весы. Если одна из чашек весов перевешивала, то, сколько бы мы ни добавляли (или не забирали) к обеим чашам, эта ситуация не изменится (Рис. 2). Рис. 2. Если чаши весов не уравновешены, то после добавления (убавления) к ним одинакового количества гирь они останутся в таком же неуравновешенном положении Это действие можно сформулировать по-другому: можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, изменяя их знак на противоположный: . 2.
Если
, то
и
Для понимания этого свойства можно опять воспользоваться аналогией с весами: если, к примеру, левая чаша перевешивала, то, если возьмём две левые чаши и две правые, перевес точно сохранится. Та же ситуация для , чаш и т.д. Даже если возьмём половины каждой из чаш, ситуация тоже не изменится (Рис. 3). Рис. 3. Если чаши весов не уравновешены, то, после того как забрать половину каждой из них, они останутся в таком же неуравновешенном положении Если же умножить или разделить обе части неравенства на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. С аналогией для этой операции чуть сложнее - отрицательных количеств нет. Здесь поможет тот факт, что у отрицательных чисел всё наоборот (чем больше модуль числа, тем меньше само число): Для чисел разных знаков ещё легче: Что касается умножения на отрицательное число , то можно выполнить эквивалентную операцию из двух частей: сначала умножить на противоположное положительное число - как мы уже знаем, знак неравенства не изменится: . В первом свойстве мы записали: , но при этом сказали, что можно не только прибавлять, но и вычитать. Почему? Потому что вычитание числа - это то же самое, что и прибавление противоположного числа: Аналогично и со вторым свойством: деление - это умножение на обратное число: . Поэтому во втором свойстве мы говорим не только об умножении на число, но и о делении. 3. Для положительных чисел
и
, если
, то
.
Это свойство мы хорошо знаем: если мы торт делим на человек, то, чем больше , тем меньше достанется каждому. Например: , поэтому (действительно, четвёртая часть торта явно меньше третьей части того же торта) (Рис. 4). Рис. 4. Четвёртая часть торта меньше третьей части того же торта 4.
Если
и
, то
.
Продолжая аналогию с весами: если на одних весах левая чаша перевешивает правую и на других - такая же ситуация, то, ссыпав отдельно содержимое левых и отдельно содержимое правых чаш, снова получим, что левая чаша перевешивает (Рис. 5). Рис. 5. Если левые чаши двух весов перевешивают правые, то, ссыпав отдельно содержимое левых и отдельно содержимое правых чаш, получится, что левая чаша перевешивает 5. Для положительных
, если
и
, то
.
Здесь аналогия чуть более сложная, но тоже ясная: если левая чаша тяжелее правой и мы возьмём больше левых чаш, чем правых, то точно получим более массивную чашу (Рис. 6). Рис. 6. Если левая чаша тяжелее правой, то если взять больше левых чаш, чем правых, то получится более массивная чаша Последние два свойства интуитивно понятны: сложив или умножив числа побольше, мы в результате получим большее число. Большинство из этих свойств можно строго доказать, используя различные алгебраические аксиомы и определения, но мы не будем этого делать. Для нас процесс доказательства представляет не такой интерес, как непосредственно полученный результат, который мы будем использовать на практике. До сих пор мы говорили о неравенствах как о способе записи результата сравнения двух чисел: или . Но неравенства можно использовать и для записи различной информации об ограничениях для того или иного объекта. В жизни мы часто используем такие ограничения для описания, например: Россия - это миллионы людей от Калининграда до Владивостока; в лифте можно перевозить не больше кг, а в пакет - класть не больше кг. Ограничения могут быть использованы и для классификации объектов. Например, в зависимости от возраста выделяют различные категории населения - дети, подростки, молодёжь и т.д. Во всех рассмотренных примерах можно выделить общую идею: некоторая величина ограничена сверху или снизу (или с обеих сторон сразу). Если - грузоподъёмность лифта, а - допустимая масса товаров, которые можно класть в пакет, то описанную выше информацию можно записать так: , и т.д. В рассмотренных примерах мы были немного неточны. Формулировка «не больше» подразумевает, что в лифте можно перевозить ровно кг, а в пакет можно положить ровно кг. Поэтому правильнее было записать так: или . Естественно, так писать неудобно, поэтому придумали специальный знак: , который читается как «меньше или равно». Такие неравенства
называются нестрогими
(соответственно, неравенства со знаками - строгими
). Их используют тогда, когда переменная может быть не только строго больше или меньше, но может и равняться граничному значению. Решением неравенства
называются все такие значения переменной, при подстановке которых полученное числовое неравенство будет верным. Рассмотрим, например, неравенство: . Числа - решения этого неравенства, т.к. неравенства являются верными. А вот числа и не являются решениями, поскольку числовые неравенства и не являются верными. Решить неравенство
, значит, найти все значения переменных, при которых неравенство будет верным. Вернемся к неравенству . Его решения можно эквивалентно описать так: все действительные числа, которые больше . Понятно, что таких чисел бесконечное множество, как же в таком случае записать ответ? Обратимся к числовой оси: все числа, большие , расположены справа от . Заштрихуем эту область, тем самым показывая, что это и будет ответ к нашему неравенству. Чтобы показать, что число не является решением, его заключают в пустой круг, или, по-другому, выкалывают точку (Рис. 7). Рис. 7. На числовой оси показано, что число не является решением (выколотая точка) Если же неравенство нестрогое и выбранная точка является решением, то её заключают в закрашенный круг. Рис. 8. На числовой оси показано, что число является решением (закрашенная точка) Итоговый ответ удобно записывать с помощью промежутков
. Промежуток записывается по следующим правилам: Знак обозначает бесконечность, т.е. показывает, что число может принимать сколь угодно большое () или сколь угодно малое значение (). Ответ к неравенству мы можем записать так: или просто: . Это означает, что неизвестная принадлежит указанному промежутку, т.е. может принимать любые значения из этого промежутка. Если обе скобки промежутка круглые, как в нашем примере, то такой промежуток ещё называют интервалом
. Обычно решением неравенства является промежуток, но возможны и другие варианты, например, решением может быть множество, состоящее из одного или несколько чисел. Например, неравенство имеет только одно решение . Ведь при любых других значениях выражение будет положительным, а значит, соответствующее числовое неравенство выполняться не будет. Неравенство может и не иметь решений. В этом случае ответ записывают как («Переменная принадлежит пустому множеству»). В том, что решением неравенства может быть пустое множество, нет ничего необычного. Ведь в реальной жизни ограничения также могут привести к тому, что не найдется ни одного элемента, удовлетворяющего требованиям. Например, людей с ростом выше метров и при этом весом до кг - точно нет. Множество таких людей не содержит ни одного элемента, или, как говорят, это пустое множество. Неравенства могут использоваться не только для записи известной информации, но и, как математические модели, для решения различных задач. Пусть у вас есть рублей. Сколько мороженых по рублей вы можете купить на эти деньги? Другой пример. У нас есть рублей и нам нужно купить мороженое на друзей. По какой цене мы можем выбрать мороженое для покупки? В жизни каждый из нас умеет решать такие простые задачи в уме, но задача математики - разработать удобный инструмент, с помощью которого можно решить не одну конкретную задачу, а целый класс разных задач независимо от того, о чём идёт речь - количество порций мороженого, машин для перевозки грузов или рулонов обоев для комнаты. Перепишем условие первой задачи про мороженое на математическом языке: одна порция стоит рублей, количество порций, которое мы можем купить, нам неизвестно, обозначим как . Тогда общая стоимость нашей покупки: рублей. И, по условию, эта сумма не должна превышать рублей. Избавляясь от наименований, получаем математическую модель: . Аналогично для второй задачи (где - стоимость порции мороженого): . Конструкции , - простейшие примеры неравенств с переменной, или линейных неравенств. Линейными называются неравенства
вида Ничего нового в таком определении для нас нет: отличие линейных неравенств от линейных уравнений только в замене знака равенства на знак неравенства. Название также связано с линейной функцией , которая фигурирует в левой части неравенства (Рис. 9). Рис. 9. График линейной функции Соответственно, алгоритм решения линейных неравенств почти такой же, как и алгоритм решения линейных уравнений: Разберём несколько примеров. Пример 1.
Решить линейное неравенство: . Решение
Перенесём слагаемое с неизвестной из правой части неравенства в левую: . Делим обе части на отрицательное число , знак неравенства меняется на противоположный: . Сделаем рисунок на оси (Рис. 10). Рис. 10. Иллюстрация к примеру 1 Левого края у промежутка нет, поэтому пишем . Левый край промежутка , неравенство строгое, поэтому запишем с круглой скобкой. Получаем интервал: . Пример 2.
Решить линейное неравенство: Решение
Раскроем скобки в левой и правой частях неравенства: . Приведём подобные слагаемые: . Сделаем рисунок на оси (Рис. 11). Рис. 11. Иллюстрация к примеру 2 Получаем промежуток: . Пример 1.
Решить линейное неравенство: Решение
Раскроем скобки: Перенесём в левую часть все слагаемые с переменной, а в правую - без переменной: Приведём подобные слагаемые: Получаем: . Неизвестной нет, что же делать? На самом деле снова ничего нового. Вспомните, что мы делали в таких случаях для линейных уравнений: если получилось верное равенство, то решение - любое действительное число, если получилось неверное равенство, то решений у уравнения - нет. Так же поступаем и здесь. Если получившееся числовое неравенство верно, значит, неизвестная может принимать любые значения: ( - множество всех действительных чисел). Но числовой оси это можно изобразить следующим образом (Рис. 1): Рис. 1. Неизвестная может принимать любые значения А с помощью интервала записать так: . Если же числовое неравенство получилось неверным, то исходное неравенство не имеет решений: . В нашем случае неравенство неверно, поэтому ответ: . В различных задачах нам может встретиться не одно, а сразу несколько условий или ограничений. Например, чтобы решить транспортную задачу, нужно учесть количество машин, время в пути, грузоподъёмность и прочее. Каждое из условий на математическом языке будет описываться своим неравенством. При этом возможны два варианта: 1. Все условия выполняются одновременно. Такой случай описывается системой неравенств
. При записи они объединяются фигурной скобкой (можно прочитать её как союз И): . 2. Должно выполняться хотя бы одно из условий. Это описывается совокупностью неравенств
(можно прочитать её как союз ИЛИ): . Системы и совокупности неравенств могут содержать несколько переменных, их количество и сложность могут быть любыми. Но мы будем подробно изучать самый простой случай: системы и совокупности неравенств с одной переменной. Как их решать? Нужно по отдельности решить каждое из неравенств, а дальше всё зависит от того, система перед нами или совокупность. Если это система
, должны выполняться все условия. Если Шерлок Холмс определил, что преступник был блондином и имел размер ноги, то среди подозреваемых должны остаться только блондины с размером ноги. Т.е. нам подойдут только те значения, которые соответствуют и одному, и второму, и, если есть, третьему, и другим условиям. Они находятся на пересечении всех полученных множеств. Если использовать числовую ось, то - на пересечении всех заштрихованных частей оси (Рис. 12). Рис. 12. Решение системы - пересечение всех заштрихованных частей оси Если это совокупность
, то нам подойдут все значения, которые являются решениями хотя бы одного неравенства. Если Шерлок Холмс определил, что преступником мог быть или блондин, или человек с размером ноги, то среди подозреваемых должны оказаться как все блондины (независимо от размера обуви), так и все люди с размером ноги (независимо от цвета волос). Т.е. решением совокупности неравенств будет объединение множеств их решений. Если использовать числовую ось, то - объединение всех заштрихованных частей оси (Рис. 13). Рис. 13. Решение совокупности - объединение всех заштрихованных частей оси Подробнее о пересечении и объединении вы можете узнать ниже. Термины «пересечение» и «объединение» относятся к понятию множества. Множество
- набор элементов, отвечающим некоторым критериям. Примеров множеств вы можете придумать сколько угодно: множество одноклассников, множество футболистов сборной России, множество машин в соседнем дворе и т.д. Вы уже знакомы с числовыми множествами: множеством натуральных чисел , целых , рациональных , действительных чисел . Есть и пустые множества , они не содержат элементов. Решения неравенств - это тоже множества чисел. Пересечением двух множеств
и
называется такое множество , которое содержит все элементы, принадлежащие одновременно и множеству , и множеству (Рис. 1). Рис. 1. Пересечение множеств и Например, пересечение множества всех женщин и множества президентов всех стран будут все женщины-президенты. Объединением двух множеств
и
называется такое множество , которое содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или (Рис. 2). Рис. 2. Объединение множеств и Например, объединением множества футболистов «Зенита» в сборной России и футболистов «Спартака» в сборной России будут все футболисты «Зенита» и «Спартака», которые играют за сборную. Кстати, пересечение этих множеств будет пустым множеством (игрок не может одновременно играть за два клуба). С объединением и пересечением числовых множеств вы уже сталкивались, когда искали НОК и НОД двух чисел. Если и - это множества, состоящие из простых множителей, полученных при разложении чисел, то НОД получается из пересечения этих множеств, а НОК - из объединения. Пример: Пример 3.
Решить систему неравенств: Решение
Решим по отдельности неравенства. В первом неравенстве перенесём слагаемое без переменной в правую часть с противоположным знаком: . Приведём подобные слагаемые: . Разделим обе части неравенства на положительное число , знак неравенства не меняется: Во втором неравенстве перенесём в левую часть слагаемое с переменной, а в правую - без переменной: Разделим обе части неравенства на положительное число , знак неравенства не меняется: Изобразим решения отдельных неравенств на числовой оси. По условию, у нас система неравенств, поэтому ищем пересечение решений (Рис. 14). Рис. 14. Иллюстрация к примеру 3 По сути первая часть решения систем и совокупностей неравенств с одной переменной сводится к решению отдельных линейных неравенств. В этом вы можете попрактиковаться самостоятельно (например, с помощью наших тестов и тренажёров), а мы подробнее остановимся на нахождении объединений и пересечений множеств решений. Пример 4.
Пусть было получено следующее решение отдельных уравнений системы: Решение
Заштрихуем на оси область, соответствующую решению первого уравнения (Рис. 15); решение второго уравнения - пустое множество, ему на оси ничего не соответствует. Рис. 15. Иллюстрация к примеру 4 Это система, поэтому нужно искать пересечение решений. Но их нет. Значит, ответом к системе будем также пустое множество: . Пример 5.
Еще пример: . Решение
Отличие в том, что это уже совокупность неравенств. Поэтому нужно выбрать область на оси, которая соответствует решению хотя бы одного из уравнений. Получим ответ: .Числовые неравенства: определение, примеры
Свойства числовых неравенств
Основные свойства
Другие важные свойства числовых неравенств
Свойства числовых неравенств
a ≤ a , a ≥ a - верные неравенства.
Если a < b и c - отрицательное число, то a · c > b · c .Сбор и использование персональной информации
Раскрытие информации третьим лицам
Защита персональной информации
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
, а дальше чаще всего использовали преимущества десятичной записи: начинали сравнивать цифры чисел с крайних левых разрядов до первого несоответствия.
.
для любого положительного
.
Т.е. обе части неравенства можно умножать или делить на положительное число и его знак не изменится.
.
. Т.е., умножая на , мы должны изменить знак неравенства на противоположный.Подробнее о сложении и умножении
. Именно поэтому мы говорим не только о сложении, но и о вычитании.
, а также те, которые можно привести к такому виду эквивалентными преобразованиями. Например: ; ; 
.
Что делать, если после приведения подобных слагаемых пропала неизвестная
.
.
.Пересечение и объединение множеств
.
. Приведём подобные слагаемые: .
